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설날 기념 갈릭 안심 스테이꾸 'ㅅ'b

속살이 속살속살

맛은 예상외로(?) 엄청 맛있었음.

두 번째로 해 본 건데... 햨햨

팀 블로그 http://www.gamedevforever.com/에 올린 포스트.

리처드 파인만이란 유명한 물리학자가 있죠.

이 사람이 "파인만 씨, 농담도 잘하시네!"라는 책을 쓴 게 있는데

(실제로 농담도 잘 했답니다) 거기에 보면 이런 구절이 나온답니다.

음... 그러고보니 수도꼭지 물줄기가 아래로 갈수록 홀쭉해지다가 나중엔 방울방울로

뚝뚝 떨어지죠. 근데 언뜻 생각해도 고딩 레벨에서 쉽게 풀리는 건 아닌 것 같은데-_-

노벨상 받은 분이니 그러려니...라지만 왠지 빡치더군요-_-!

나는 비록 과학자는 아니지만 그래도 고등 수학, 물리 다 한 엔지니어인데!

게다가 사실 이런 일은 할 필요가 없다라니 왠지 엄청 해보고 싶지 않습니까.

자고로 일이란 무익할 수록 하고 싶은 법 (?)

그래서 해봤습니다!

게임 개발과의 연관성은... 호...혹시 게임 개발하다가 수도꼭지에서 떨어지는 물을

시뮬레이션할 일이 있을 수도 있지 않을까요 하하하하 (...)

일단 물줄기가 얇아지는 이유는 중력 때문인 것으로 보입니다.

수도꼭지에서 나온 물이 중력에 자유낙하하면서 속도가 점점 빨라질 테니까요.

시간당 나오는 물의 양은 일정한데 점점 물이 빨리 떨어지니 물줄기가 얇아질 수밖에 없겠죠.

직관적으론 그렇고... 좀 더 제대로 하려면 물의 점성이나 공기 저항 같은 것들을

고려해야겠지만 물의 양이 많은 경우 그닥 영향이 없을 테니 다 무시하고

중력만 생각했을 때 물줄기의 모양이 어떻게 되는지 알아보겠습니다.

물줄기의 단면도입니다. r이 수평, h가 수직 축이고 H가 현재 물줄기의 가장 밑단입니다.

일단 생각나는 것들부터 주르륵 써보죠. 중력가속도는 g로 하고...

H에 있는 물들은 중력에 의해 가속이동하므로 시간 t일 때 1/2 gt^2에 있게 되죠.

①

그리고 펌프가 멀쩡하다면 단위시간당 나오는 물의 부피가 일정할 겁니다.

총 물의 부피를 V, 초당 공급되는 물의 양을 P라고 했을 때 V를 시간 t에 대한 식으로

나타내면 다음과 같습니다.

②

총 물의 부피를 물줄기 식에서 도출할 수도 있을 건데요.

지금 그래프는 단면도로 그렸으나 실제로 물줄기는 원기둥 형태일 테니

총 부피는 그걸 고려해서 다음처럼 되어야겠죠.

③

우리가 구하고 싶은 건 결국 높이에 따라 변하는 물줄기의 반지름이므로

목표는 r(h)입니다. ③을 H로 미분해서 정리해봅시다.

④

dV / dH가 거슬리는데... ①, ②번 식이 t로 이어져 있어서 얘네를 이용하면 dV / dH 꼴을

만들 수 있을 것 같습니다.

우선 ①번을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

원래 루트 풀면서 플러스 마이너스 부호가 다 나오는데 시간이 음수인 세계(...)는 무서우므로 뺍니다.

이걸 ②에 넣어주면 가 됩니다.

이제 양변을 H로 미분하면 가 나옵니다.

네 드디어-_- 이걸 아까 나온 r(H), ④번에 넣으면 나왔네요.

h = H인 경우에 반지름 r은

...로 나옵니다. h 빼면 다 상수니깐 C로 빼고 r(h) = Ch^(-1/4) 그래프를 그려보면

처음에 예상했던 것과는 달리 h가 0에 가까운 곳에서 r이 무한대가 되네요.

h가 0인 곳은 물 속도도 0이라 물이 어디 도망 못 가고 쌓이기만 하니 당연할라나...

실제로 써 먹을 거라 생각하면 수도꼭지에서 튀어나올 때의 물 초기속도가

v인 경우 h = 1 / 2 gt^2이고 v = gt니깐... h를 v에 대한 식으로 정리하면

h = v^2 / 2g로 나옵니다. 저 식에 v 넣고 h를 구해서 그 h부터 아랫부분 쪽을 쓰면 되겠죠.

물 나오는 양 P랑 중력 가속도 g까지 넣고.

아... 아까 이거 쉽다던 건방진 고딩 누구야 대체-_- 힘들어 죽겠는데.

고딩이 이거 풀 수 있으면 걔는 노벨상도 받을 거다!!

네, 여튼 물 분자의 장력에 의해 방울방울 떨어지는 것까지 나타내는 식은

못 구했지만 수도꼭지 물줄기가 얇아지면서 떨어지는 것까지 설명하는 데에는 성공했네요.

물줄기가 얇아져서 중력보다 표면장력이 지배적인 힘이 되면 또 다른 모델로 식을

도출해볼 수 있을 것 같습니다.

자, 고딩 파인만 이건 어떻게 설명할텐가! 물줄기가 안 가늘어지고 그대로 떨어지는데!

틀린 거 있으면 지적해주시고 궁금한 거 있으면 질문해주세요~!

△ Before

△ After

화질구지네요. 다녀옵니다.

첨에 보고 그냥 본드 붙이고 찍은 거 아님 -_-? 하고 심드렁한 반응을 보였는데

비슷한 동영상을 보고나서 헐!? 진짜로 되는 거였나하고 뜨악.

무게중심이 책상 면 위에 있기만 하면 저렇게 될 것 같기도 한데...

근데 떨어지려는 자를 잡아주는 힘이 망치 손잡이가 자를 밀어주는 힘인데

망치는 그 자에 매달려 있다고 ㅋㅋㅋㅋ 이게 말이 되나!?

진짜 버그인가!?

망치가 무거울 수록 자를 밀어주는 힘이 세질 건데 그럼 망치를 무겁게 하면

망치 머리가 책상 면에서 멀어져도 잘 붙어있나?

...해서 한 번 해봄.

시작한다.

일단 다음과 같이 모델링.

자와, 줄, 망치 손잡이를 모두 그냥 막대기로 가정하고

질량을 0으로 잡음. 망치 대가리만 질량이 m만큼 있는 걸로 가정, 중력에 의해

망치 머리 ①에 mg의 힘이 가해지고 있는 것으로부터 시작함.

다른 막대기와 이어져있는 망치 손잡이 중간 지점을 회전축으로 봤을 때

망치 머리가 아래로 힘을 줘서 토크가 들어가고 있음.

망치가 회전하지 않고 있으므로 이 토크와 반대방향으로 똑같은 크기의 ②를

줘야 됨. 이 힘은 윗 막대기가 망치 손잡이를 밀어주는 힘임.

그림처럼 회전축으로부터의 거리 비를 t:t'로 보면

①로 인한 토크의 크기는 | mg x t |

②로 인한 토크의 크기는 | ② x t' |

로 됨. 이 두 크기가 같아야 됨.

| mg x t | = | ② x t' |

벡터의 각도차가 같으므로 외적 무시하고 t, t'도 그냥 스칼라 값으로 보자.

mgt = ②t'

② = mgt / t'

자, 다음 단계로.

①, ②번 힘이 아래로 땡기고 있는데 망치가 안 떨어지고 있는 건

가운데 막대가 힘 ③으로 잡아주고 있기 때문임.

크기가 같아야 되므로 | ③ | = | ① + ② | = mg + mgt / t'

중력 방향을 양수로 보면 ③ = -(mg + mgt / t')가 됨.

작용반작용 법칙에 의해 윗 막대는 가운데 막대로부터 아래로 당기는 힘 ④,

망치 손잡이로부터 위로 미는 힘 ⑤를 받음.

같은 크기에 방향만 반대이므로

④ = -③ = mg + mgt / t'

⑤ = -② = -mgt / t'

마지막으로 현재까지 구한 윗 막대기에 주어지는 힘을 보면

④ + ⑤ = mg + mgt / t' - mgt / t' = mg 임.

윗 막대기도 고정되어 있으므로 이 힘을 상쇄해줄 힘이 필요,

이 힘은 왼쪽 책상이 윗 막대기에 주는 수직항력임.

고로 ⑥ = -mg

그리고 윗 막대기도 회전하면 안 된다.

힘 ④가 주어지는 곳을 회전축으로 보고 ⑥, ⑤ 작용점까지를

u, u'로 잡자. 그렇게 봤을 때 ⑥은 윗 막대기를 시계방향으로

회전시키려는 토크를 주고, ⑤는 반대로 윗 막대기를 반시계방향으로

회전시키려고 하는 토크를 준다. 이 두 토크의 크기가 같아야 회전 안 함.

토크의 크기를 계산하면 각각

mgu, mgu't / t'가 된다. (아까처럼 외적 무시, u, u'도 스칼라)

두 놈이 같아야 되므로 정리하면

mgu = mgu't / t'

u / u' = t / t'

이렇게 됨.

결국 t : t' = u : u' 라는 건데 이러면

①랑 ⑥ 작용점이 높이만 다르고 위 아래로 같은 위치에 있게 됨.

즉, 망치 대가리의 무게 중심점 바로 위 지점에 해당하는 윗 막대기에

책상이 mg만큼 수직항력으로 떠받치고 있게 되는 거임.

결국 망치 대가리를 딱 위로 올려서 책상 위에 얹은 거랑 똑같음-_-;

그냥 전체 무게중심 구해서 힘 주는 거랑 똑같긔.

자 입장에서 보면 위 두 시츄가 같은 거.

수평성분으로 망치 대가리가 책상 끝보다 왼쪽에 있기만 하면

자는 안 떨어지고 책상에 잘 붙어있음. 오른쪽으로 가서 책상 벗어나면 당근 떨어지고.

열심히 했더니 이뭐 뻔한 결과가...

그래 생각해보니 이런 것도 있었지.

국방의 의무를 다하랑께?

근데 왜 99호 밖에 안 되는 거지. 올해 나온 통지서만 카운팅되나?

아니면 여태 발행된 소집통지서들의 번호가 아니라 여러 통지서 종류 중에서

산업/전문요원 소집통지서가 99호란 건가.

여튼 곧 훈련 갔다올 듯.

다른 무엇보다 한 달 동안 네트워크와 단절된다는 게 두렵다!